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牛吃草问题

淮南市第二十一中学校园网·更新时间:2016-10-28 11:17:17·点击次数:

 

  一、牛吃草问题

  牛吃草问题是一个很有趣的问题,关键在于牧场每天都长新草,通过两组条件的比较,先求出每天(周)长牧草的新草量,然后把牛分成两部分,一部分吃新草,一部分吃旧草,从而求出吃草的天数。显然牛实际上是不能这样分成两部分去吃草的,但在解数学问题中,这种分成几部分去解决问题的方法,可以使复杂的问题变成简单的问题,化繁为简是常常应用的技巧之一。

  例1 牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。如果27头牛6周吃完,23头牛9周吃完,那么21头牛几周吃完?

  解:设1头牛1周吃的草为1份,27头牛6周吃27×6=162(份),23头牛9周吃23×9=207(份),这说明牧场每周长新草(207-162)÷(9-6)=15(份)。原来(牛吃前)牧场有草 162-15×6=72(份)

  吃新草的牛需要 15÷1=15(头)吃旧草的牛有 21-15=6(头)

  吃完草的时间 72÷6=12(周)

  例2 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天,那么可供多少头牛吃10天?

  解:20头牛5天吃草20×5=100(份)15头牛6天吃草15×6=90(份)

  青草每天减少(100-90)÷(6-5)=10(份)牛吃草前牧场有草100+10×5=150(份)150份草吃10天本可供150÷10=15(头)因每天减少10份草,相当于10头牛吃掉,所以只能供牛15-10=5(头)

  二、牛吃草问题概念及公式

  牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场 牛吃草问题的·历史起源:英国数学家牛顿(1642—1727)说过:“在学习科学的时候,题目比规则还有用些”因此在他的著作中,每当阐述理论时,总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中,有一个关于求牛和头数的题目,人们称之为牛顿的牛吃草问题。,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是

  假设定一头牛一天吃草量为“1”

  1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

  2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`

  3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

  4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

  这四个公式是解决消长问题的基础。

  由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式。

  牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草,这块地既有原有的草,又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

  解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。

  这类问题的基本数量关系是:

  1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

  2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量。

 
【 文章作者:佚名 文章来源:本站原创】 
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