最后两数
作者:佚名 文章来源:本站原创 点击数: 更新时间:2016-10-23 16:47:37

最后两数

黑板上从左往右写了1,2,3,…,1000,共1000个自然数,将每次擦掉最左边两个数,然后把这两个数的和写在最右面定义为一次操作,经过998次操作后黑板上只剩下两个数。问:这两个数分别是多少?

 

 

分析与解答

答案为:131604 和 368896

        因为每一次操作都是擦掉最左边两个数,然后把它们的和写在最右边,所以,每一次操作都会减少一个数。因此,经过998次操作之后,黑板上最后只剩下两个数。

        在没有找到好的方法之前,我们不妨用最笨的方法来做一下。

1)经过500次操作后,黑板上将剩下500个数,分别为:3,7,11,15,…,1999。

2)再经过250次操作后,黑板上将剩下250个数,分别为:10,26,42,58,…,3994。

3)再经过125次操作后,黑板上将剩下125个数,分别为:36,100,164,228,…,7972。

4)……

        我相信,只要你有足够的耐心,继续做下去,一定可以把最终的答案算出来,但是我认为这样做出来的答案并不是好的数学,因为如果这个数字再大一点,这个方法就显得有点笨拙了。好的数学应该是通解通法,对于任意大的数都能解决。

        但是,笨方法并不是一点用处都没有。通过笨方法,我们至少可以得到下面一些启发:1)对于数不多的情况,笨方法还是挺管用的;2)笨方法每一次大操作,都可以将黑板上的所有旧数换成新数,而且剩下的数都会减半,鉴于此,如果黑板上数的个数是2的幂将会使问题变得简单。

所以,我们不妨先从较小的数着手研究,然后找出其中的规律,最后破解该问题,这也是解决数学问题惯用的思维。

        如果黑板上只有4个数a,b,c,d,那么经过2次操作之后,剩下的数变为 a+b,c+d。

        如果黑板上只有8个数a,b,c,d,e,f,g,h,那么经过4次操作之后,变为 a+b,c+d,e+f,g+h,再经过2次操作之后,变为 a+b+c+d,e+f+g+h。剩下的两个数正好分别是前4个数的和与后4个数的和。

         最后,不难发现,当个数为2ⁿ时,均有类似的规律和结论。我们把这个结论用正式的语言描述如下:
有用的结论
如果黑板上有2ⁿ个数,那么经过2ⁿ-2次操作之后,黑板上将剩下两个数,这两个数分别是前2ⁿ-¹和后2ⁿ-¹个数之和。

       这个结论的严格证明可能需要用到数学归纳法,我们在这里就不讲了,留给大家去思考吧。

      接下来我们来考虑不是2ⁿ个数时该怎么办。

        还是从个数不多的情况来思考,比如说个数为9,此时,我们只要进行一次操作就可以变成8个数了。个数为10时,进行2次操作之后也是剩下8个数。

        当个数为1000时,我们找到比1000小,但又最接近1000的2的次幂数,那就是512,它是2的9次幂。从1000个数变成512个数需要经过488次操作,而我们很容易得出经过488次操作之后剩下的512个数为:977,978,979,…,999,1000,1+2,3+4,…,975+976。则前256个数之和为977+978+979+…+999+1000+(1+2)+(3+4)+…+(463+464)=23724+107880=131604。后256个数之和为 (465+466)+(467+468)+…+(975+976)=368896(当然也能算出一个,再用500500去减) 。

故,131604和368896即为黑板上最后剩下的两个数。

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